這一節課，小編要講講數學，大家認真讀。數學，算是所有科目中比較難學的一個科目，估計很多同學對數學是深惡痛絕！

你發現沒有，對有些人卻不一樣（我們不一樣，不一樣！），他們一點都不覺得數學難學，反而覺得它很有趣。為了證明數學的有趣，小編給大家舉個例子：

那么繼續：

那接下來，有趣的事情發生了：

大家看到沒？相等了。不是1≈0.999999…嗎？怎么變成了相等？

關于1=0.999999……還是1≈0.999999……，這兩個之間，到底是怎么回事？……好吧，小編也不能給出解釋。

目前，對于這個問題，自然界有兩個相反的說法，一個是0.999999循環，在自然界中，是根本不存在的，宇宙中沒有任何一個實際物體，具有0.99...99這個數值……

另外一個猜測是：1的無窮次方等于1；而0.9999.....的無窮次方等于0，所以兩者不相等……

很顯然，這兩個都是符合我們如今的數學認知，而且還相互矛盾的！這就更加讓人難以明白，到底是等于，還是約等于，還是差距非常大！

這算是數學的一個悖論！但是！現在不明白，不等于以后不明白！數學，是一個發展的學科！

小編在這里，跟大家分享一下，數學的三次危機，都是因為數學發展過程中不夠完善，差點斷送了數學這個學科。

在公元前五世紀以前，數學學科畢達哥拉斯學派主張【“數”是萬物的本原、始基】，而宇宙中一切現象都可歸結為整數或整數之比，有理數理論成為占統治地位的數學規范……

畢達哥拉斯

小編這里先復習一下【有理數】的概念，它是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。這個有理數，是那個時候的數學的理論基石，不可動搖。

結果，在公元前580～568年間，一個畢達哥拉斯學派內部的一個成員希帕索斯，有一天突然發現：邊長為1的正方形的對角線長度（根號2）既不是整數，也不能用整數之比來表示。

這一發現不僅嚴重觸犯了畢達哥拉斯學派的信條，同時也沖擊了當時希臘人的普遍見解，因此它直接導致了數學認識上的“危機”，動搖到了數學的根基。

這一悖論導致了Hipasus被畢達哥拉斯學派追殺，最終葬身大海的悲劇。

希帕索斯的這一發現，史稱“希帕索斯悖論”，從而觸發了第一次數學危機。

也正是因為這次數學悖論的出現，證明了人的直覺和經驗不一定靠得住，而推理和證明才是可靠的，這就導致了亞里士多德的邏輯體系和歐幾里德幾何體系的建立……

過了兩百年，希臘數學家歐多克斯和阿契塔斯兩人給出了“兩個數的比相等”的新定義，建立起一套完整的比例論，其中巧妙避開了無理數這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關的一些結論，緩解了這次數學危機。

然而，“世界萬物皆為整數或整數比”的錯誤并沒有解決，歐多克斯只是借助幾何方法，直接避免無理數的出現。

直到1872年，德國數學家對無理數作出了嚴格的定義，無理數本質被徹底搞清，無理數在數學中合法地位的確立，才真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。

好了，這個第一次數學危機就講到這里，回到1=0.999999……還是1≈0.999999……這個問題上來，就像這個根號2的出現動搖了當時的數學體系的情況一樣，不相信根號2的存在……

而現在，有人不相信0.9999……無限循環不存在，不用擔心，當未來數學發展到一定的程度時，它就存在了，也許到時候，會出現一個新的數學概念，1=0.999999……還是1≈0.999999這個問題，就像是當初的【無理數】概念一樣……

17世紀末，牛頓和萊布尼茨分別獨立地建立了微積分方法，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，并在實際應用中獲得了巨大成功。

微積分是初等和高等數學的分水嶺。萊布尼茨說：從人類有數學開始到牛頓時代，牛頓的貢獻至少一半以上！盡管如此，從本質上說，還是科學技術的發展催生了微積分 。

17世紀，科學技術發展迅猛，向數學提出四類問題：瞬時速度問題；曲線的切線問題；函數極值問題；曲線長度和圖形面積問題。以上四類問題吸引了大批數學家，產生了新的數學工具：坐標解析幾何。

微積分的建立標志著數學從常數數學時代進入變數數學時代，推動了整個科學技術的發展。

然而，微積分學產生伊始，迎來的并非全是掌聲，在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責，原因在于當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小后來證明是包含邏輯矛盾的。

1734年愛爾蘭主教貝克萊提出貝克萊悖論：無窮小量 dx 既是0又不是0！

無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？這引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。

如果解不到這個問題，所謂無堅不摧的微積分，便無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水，所以數學史上稱之為“第二次數學危機”。

 數學是講究嚴謹的學科，數學家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰，是數學家的不朽格言。

化解這一悖論的重大科學發現是極限論，它使得微積分得以嚴密化。

1820年，另一位偉大的數學家柯西（1789–1857），重新建立微積分學的基礎——數學分析。

數學分析是透過一套嚴格的“數學語言——ε–語言”來說明甚么是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚么是既不是零又不是非零的問題，而這次的危機亦安然渡過，并為數學的大家庭增添了一位成員“數學分析”。

魏爾斯托拉斯進一步改進柯西的工作，給出極限的 e--d 語言定義：

經過數位杰出數學家對于微積分學基礎概念的重建后，第三次數學危機才終于得以解決。

19世紀后期，高等數學（微積分），線性代數（多項式，矩陣，行列式），幾何學（射影幾何）已經發展得十分完備； 

一些新的數學分支，如泛函分析，抽象代數，拓撲學，等等，開始出現；

康托建立了集合論-----現代數學的基礎。

1900年龐加萊稱：數學的嚴格性，看來直到今天才可以說是實現了。正在此時，羅素定義的集合R：所有不以自己為元素的集合所組成的集合R = { x | x ? x } 。

這個漏洞就源于英國數學家羅素提出的一個悖論：所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那么它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。

伯特蘭·羅素(Bertrand Russell，1872.5.18-1970.2.2)

如果它不包含自身，那它理應是所有不包含自身的集合的集合的一個元素。這樣的一個集合，包不包含自身，都必將引發矛盾。

對于羅素悖論，有一個通俗的故事可以解釋，就是“理發師悖論”。

羅素悖論一經提出便在當時的數學界與邏輯學界內引起了軒然大波，直接導致了第三次數學危機！

弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege，1848.11.8-1925.7.26)

由于這個悖論，費雷格的著作《算術原理》中的第五公理竟然是錯的！他感覺算術的基礎發生了動搖。

最后只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時卻發現所干的工作的基礎崩潰了。”

那么，這次危機是如何得到解決的呢？

事實上，為了解決羅素悖論，演化出邏輯主義，直覺主義，形式主義等數學學派，產生了集合論的公理化。人們注意到，必須對康托的樸素集合論加以限制，限制到足以排除悖論，同時保留所有有價值的東西。 

龐加萊說，我們建造了一個圍欄來放養羊群，以防止它們被狼侵害，但我們不知道在圍欄中是否已經有狼。

直到1931年，哥德爾提出了一系列不完備定理并予以證明：

至此，這場關于數學基礎的爭論終于結束，同時也宣告了把數學徹底形式化的愿望是不可能實現的。

數學是講究嚴謹的學科，數學家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰，是數學家的不朽格言。

歷史上的三次數學危機，雖然給人們帶來了極大的麻煩，但是危機的產生使人們認識到了現有理論的缺陷，并不斷去完善，由此，數學也會得到新的發展，甚至會有革命性的的變革！

事實上，悖論的產生往往預示著科學的發展，可以說，悖論是科學發展的產物，是科學發展源泉之一。

第一次數學危機使人們發現無理數，建立了完整的實數理論，歐氏幾何也應運而生并建立了幾何公理體系；

第二次數學危機的出現，直接導致了極限理論、實數理論和集合論三大理論的產生和完善，使微積分建立在穩固且完美的基礎之上；

第三次數學危機,使集合論成為一個完整的集合論公理體系（ZFC系統）,促進了數學基礎研究及數理邏輯的現代性。